Алгоритм Дейкстры для разреженных графов (реализация на C++)

C++   29 августа 2015  Автор статьи:  
geekbrains.ru/

Задан ориентированный взвешенный граф G = (V, E), состоящий из N вершин и M дуг. Каждая дуга (u, v) имеет неотрицательный вес w(u, v), w(u, v) \ge 0. Требуется найти кратчайшие пути из некоторой стартовой вершины s до всех остальных вершин графа G.
Исходный граф G удобно представлять в памяти ЭВМ списком смежности adj, храня для каждой вершины графа v список adj[v] смежных с ней вершин. Для хранения весов дуг, соответствующих их положению в списке смежности adj, используется список смежности weight. Переменная start обозначает стартовую вершину, от которой ищется расстояние до всех других вершин v \in V. Массив dist используется для хранения текущего кратчайшего расстояния от стартовой вершины start до всех других вершин v \in V. Изначально полагаем, что dist[start] = 0, а для всех остальных вершин значение массива dist равно бесконечности INF. На практике при реализации алгоритмов в качестве бесконечности INF выбирают достаточное большое число, заведомо превосходящее длину любого пути в исходном орграфе G = (V, E). Массив pred служит для хранения предков и необходим для восстановления кратчайших путей из стартовой вершины start до всех остальных вершин v \in V орграфа G = (V, E).


vector *adj; //список смежности
vector used; //массив для хранения информации о пройденных и не пройденных вершинах
int mtSize = 0; //размер максимального паросочетания
vector mt; //массив для хранения максимального паросочетания

В качестве списка смежности для представления графа на языке C++ удобно использовать массив, каждый элемент которого является структурой данных vector<int>. Для реализации очереди с приоритетами, в которую попадают вершины в порядке приближенности к стартовой вершине start, используется структура данных set<pair<int, int>>. Пара двух целых чисел pair<int, int> хранит значения weight и v, где weight – текущее расстояние от стартовой вершины start до вершины v, а v – номер вершины в орграфе G соответственно. Для того, чтобы в множестве set<pair<int, int>> вершины автоматически упорядочивались в порядке неубывания расстояния от стартовой вершины start, первым элементом в паре set<pair<int, int>> является расстояние weight, а вторым – v, то есть номер вершины в орграфе G.
В приведенной ниже реализации данные считываются и выводятся в консоль.

Входные данные

В первой строке входного файла задано два целых числа: N (1 \le N \le 10^5) – количество вершин в графе, M (1 \le M \le 10^6) – количество ребер графа соответственно и стартовая вершина start (1 \le start \le N). Каждая из следующих M строк содержит описание дуги орграфа: три целых числа – начало, конец и вес дуги. Начало и конец дуги находятся в диапазоне от 1 до N, а вес ребра – это целое не отрицательно число.

Выходные данные

В первой строке выходного файла показано расстояние из стартовой вершины start до всех остальных вершин v \in V орграфа G = (V, E) в порядке их нумерации. Если пути из стартовой вершины start до некоторой вершины не существует, то на том месте стоит значение -1.
Далее в следующий N строках показан номер вершины и кратчайший путь до нее из стартовой вершины start. В случае, если пути до некоторой вершины v \in V не существует, то строка с номером v является пустой.


#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

static int INF = INT_MAX / 2;

int n; //количество вершин в орграфе
int m; //количествое дуг в орграфе
vector *adj; //список смежности
vector *weight; //вес ребра в орграфе
vector used; //массив для хранения информации о пройденных и не пройденных вершинах
int *dist; //массив для хранения расстояния от стартовой вершины
int *pred; //массив предков, необходимых для восстановления кратчайшего пути из стартовой вершины
int start; //стартовая вершина, от которой ищется расстояние до всех других
set> queue; //очередь с приоритетами

//процедура запуска алгоритма Дейкстры из стартовой вершины
void sparseDejkstra(int s) {
dist[s] = 0; //кратчайшее расстояние до стартовой вершины равно 0
queue.insert(make_pair(dist[s], s));
while (!queue.empty()) {
//извлекаем вершину, которая находится вверху кучи
int v = queue.begin()->second;
int distV = queue.begin()->first;
queue.erase(queue.begin());
//рассматриваем все дуги, исходящие из вершины вверху кучи
for (int i = 0; i < adj[v].size(); ++i) { int u = adj[v][i]; int weightU = weight[v][i]; //релаксация вершины if (dist[v] + weightU < dist[u]) { queue.erase(make_pair(dist[u], u)); dist[u] = dist[v] + weightU; pred[u] = v; queue.insert(make_pair(dist[u], u)); } } } } //процедура считывания входных данных с консоли void readData(){ scanf("%d %d %d", &n, &m, &start); //считываем количество вершин, количество дуг графа и стартовую вершину start--; //инициализируем списка смежности графа размерности n adj = new vector[n];
//инициализация списка, в котором хранятся веса ребер
weight = new vector[n];

//считываем граф, заданный списком ребер
for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w); u--; v--; adj[u].push_back(v); weight[u].push_back(w); } used.resize(n, false); pred = new int[n]; dist = new int[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) { pred[i] = -1; dist[i] = INF; } } //процедура восстановления кратчайшего пути по массиву предком void printWay(int v) { if (v == -1) { return; } printWay(pred[v]); printf("%d ", (v + 1)); } //процедура вывода данных в консоль void printData() { for (int v = 0; v < n; ++v) { if (dist[v] != INF) { printf("%d ", dist[v]); } else { printf("-1 "); } } printf("\n"); for (int v = 0; v < n; ++v) { printf("%d: ", (v + 1)); if (dist[v] != INF) { printWay(v); } printf("\n"); } } void run() { readData(); sparseDejkstra(start); printData(); } int main() { run(); return 0; }

 

Пример
Входные данные
7 11 1
1 2 1
1 3 7
2 4 4
2 5 2
3 2 4
3 5 5
4 5 3
5 3 3
5 4 10
6 7 3
7 6 4
Выходные данные
0 1 6 5 3 -1 -1
1: 1
2: 1 2
3: 1 2 5 3
4: 1 2 4
5: 1 2 5
6:
7:

 

Научиться программировать

  • на Delphi

  • на Java

  • на C++

geekbrains.ru/
geekbrains.ru/