Кратчайшие пути между всеми парами вершин (Реализация на Java)

Java   23 Декабрь 2012  Автор статьи:  

В данной статье мы рассмотрим нахождение кратчайших путей в ориентированном графе с помощью перемножения матриц. Если вам требуется решить данную задачу не этим способом, то воспользуйтесь алгоритмом Флойда. Перемножение матриц решает задачу о нахождения кратчайшего пути между всеми парами вершин за O(N^4). Идея метода состоит в том, чтобы на каждом шаге k находить наикратчайший путь между вершиной i и j длиной меньше или равной k. Для этого нам необходима матрица расстояний изначального графа, она как будто будет перемножаться с матрицей, которую мы будем получать на k-ом шаге. Для перехода с шага k на шаг k+1 будет использоваться функция ExtendShortestPaths. Нам достаточно вызвать ее n раз и мы получим результат:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
import java.util.Scanner;

public class Solution {
    static int infinity = 100000000;
    static  int[][] ExtendShortestPaths(int[][] l, int[][] w)
    {
        int n = l.length;
        int[][] a = new int[n][];
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            a[i] = new int[n];
        }
        for(int i = 0;i < n; i ++)
        {
            for(int j = 0; j < n;j++)
            {
                a[i][j] = infinity;
                for(int k =0; k < n; k++)
                {
                    a[i][j] = Math.min(a[i][j],l[i][k] + w[k][j]);
                }
            }
        }
        return a;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[][] w = new int[n][];
        int l[][] = new int[n][];
        for(int i = 0; i < n; i ++)
        {
            w[i] = new int[n];
            l[i] = new int[n];
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                w[i][j] = in.nextInt();
                if(w[i][j]==0)
                {
                    w[i][j] = infinity;
                }
                if(i==j)
                {
                    w[i][j]=0;
                }
                l[i][j] = w[i][j];
            }
        }

        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            l = ExtendShortestPaths(l,w);
        }
        for(int i = 0; i < n; i ++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j ++)
            {
                System.out.print(l[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

Можно оптимизировать данный код, и написать ExtendShortestPaths за O(n^2*logn). Для этого достаточно понимать как писать перемножение матриц за это время.

Научиться программировать

  • на Delphi

  • на Java

  • на C++